Question

已知多面体中，平面，平面，，，为的中点.

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的余弦值的大小.

Answer

（1）详见解析；（2）直线与平面所成角的余弦值为.

【解析】

试题分析：（1）取的中点，连接、，证明平面，进而得到；（2）法一是利用四边形为平行四边形得到，于是得到点和点到平面的距离相等，证明平面，由于点为的中点，由中位线原理得到点到平面的距离为线段长度的一半，于是计算出点到平面的距离，根据直线与平面所成角的原理计算出直线与平面所成角的正弦值，进一步求出该角的余弦值；法二是分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出直线与平面所成角的正弦值，再根据同角三角函数的平方关系求出这个角的余弦值.

试题解析：（1）如下图所示，取的中点，连接、、，

、分别为、的中点，则，

由于平面，平面，，

又，，，，所以，平面，

平面，，

，且点为的中点，所以，

，平面，

平面，；

（2）法一：由（1）知，故四边形为平行四边形，，

故点到平面的距离等于点到平面的距离，如下图所示，连接、，

取的中点，连接，

由于平面，且平面，，

，

同理，，

因为点为的中点，，

由于，故为等边三角形，

为的中点，，，

由于四边形为平行四边形，所以，，，

，点为的中点，，

因为，平面，

、分别为、的中点，，平面，

且，故点到平面的距离为，

设直线与平面所成的角为，则，

，故直线与平面所成角的余弦值为；

法二：分别以、、为、、轴建立如图空间直角坐标系，

则，，，，，，

设平面的法向量为，则，

设，则，，

设直线与平面所成角为，则，

所以直线与平面所成角的余弦值为；

考点：1.直线与平面垂直；2.直线与平面所成的角；3.空间向量法