Question

已知函数，（其中常数）.

（1）当时，求的极大值；

（2）试讨论在区间上的单调性；

（3）当时，曲线上总存在相异两点、，使得曲线

在点、处的切线互相平行，求的取值范围.

Answer

（1）函数的极大值为；（2）详见解析；（3）的取值范围是.

【解析】

试题分析：（1）将代入函数的解析式，利用导数求出函数的极大值即可；（2）先求出导数，并求出方程的两根和，对这两根的大小以及两根是否在区间进行分类讨论，并借助导数正负确定函数在区间上的单调区间；（3）先利用函数在、两点处的切线平行得到，通过化简得到，利用基本不等式转化为

在上恒成立，于是有，进而求出的取值范围.

试题解析：（1）当时，，定义域为，

所以，

令，解得或，列表如下：

减

极小值

增

极大值

减

故函数在处取得极大值，即；

（2），

由于，解方程，得，，

①当时，则有，

当时，；当时，，

即函数在区间上的单调递减区间为，单调递增区间为；

②当时，，则在区间上恒成立，

故函数在区间上单调递减；

③当时，则有，

当，；当时，，

故函数在区间上的单调递减区间为，单调递增区间为；

（3）由（2）知，，

由于，从而有，化简得，

即，由于，则有，

令，故有对任意恒成立，

而在上恒成立，

故函数在上单调递增，则函数在处取得最小值，即，

因此，所以，因此的取值范围是.

考点：1.利用导数求函数的极值；2.导数的几何意义；3.函数的单调区间；4.分类讨论