Question

如图，在三棱锥中，，，为的中点，为的中点，且为正三角形.

（1）求证：平面；

（2）若，，求点到平面的距离．

Answer

（1）详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由等腰三角形三线合一得到，由中位线得到，从而得到，利用并结合直线与平面垂直的判定定理证明平面，从而得到，再结合以及直线与平面垂直的判定定理证明平面；（2）解法一是利用（1）中的条件得到平面，以点为顶点，为底面计算三棱锥的体积，然后更换顶点，变成以点为顶点，为底面来计算三棱锥，利用等体积法从而计算三棱锥的高，即点到平面的距离；解法二是作或其延长线于点，然后证明平面，从而得到的长度为点到平面的距离，进而计算的长度即可.

试题解析：（1）证明：在正中，是的中点，所以．

因为是的中点，是的中点，所以，故．

又，，、平面，

所以平面．

因为平面，所以，

又，，、平面，

所以平面；

（2）解法1：设点到平面的距离为，

因为，是的中点，所以，

因为为正三角形，所以，

因为，，所以，

所以，

因为，

由（1）知，所以，

在中，，

所以.

因为，所以，

即，所以．

故点到平面的距离为．

解法2：过点作直线的垂线，交的延长线于点，

由（1）知，平面，，

所以平面．

因为平面，所以．

因为，所以平面．

所以为点到平面的距离．

因为，是的中点，所以．

因为为正三角形，所以．

因为为的中点，所以．

以下给出两种求的方法：

方法1：在△中，过点作的垂线，垂足为点，

则． 因为，

所以.

方法2：在中，．          ①，

在△中，因为，

所以，

即．                          ②，

由①，②解得．故点到平面的距离为.

考点：1.直线与平面垂直；2.点到平面的距离；3.等体积法