Question

在圆上任取一点，设点在轴上的正投影为点．当点在圆上运动时，动点满足，动点形成的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）已知点，若、是曲线上的两个动点，且满足，求的取值范围.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）解法一是从条件得到点为线段的中点，设点，从而得到点的坐标为，利用点在圆上，其坐标满足圆的方程，代入化简得到曲线的方程；解法二是利用相关点法，设点，点，通过条件确定点与点的坐标之间的关系，并利用点的坐标表示点的坐标，再借助点在圆上，其坐标满足圆的方程，代入化简得到曲线的方程；（2）先利用条件将化简为，并设点，从而得到的坐标表达式，结合点，将的代数式化为以的二次函数，结合的取值范围，求出的取值范围.

试题解析：（1）解法1：由知点为线段的中点.

设点的坐标是，则点的坐标是.

因为点在圆上，所以.

所以曲线的方程为；

解法2：设点的坐标是，点的坐标是，

由得，，．

因为点在圆上， 所以．      ①

把，代入方程①，得．

所以曲线的方程为；

（2）【解析】
因为，所以．

所以．

设点，则，即．

所以，

因为点在曲线上，所以．

所以．

所以的取值范围为.

考点：1.相关点法求轨迹方程；2.平面向量的数量积；3.二次函数的最值