Question

已知函数.

（1）若在处取得极值，求实数的值；

（2）求函数在区间上的最大值.

Answer

（1）；（2）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）利用函数在处取得极值，得到求出的值，并对此时函数能否在处取得极值进行检验，从而确定的值；（2）先求出导数，由条件得到的取值范围，从而得到导数的符号与相同，从而对是否在区间内进行分类讨论，并确定函数在区间上的单调性，从而确定函数在区间上的最大值.

试题解析：（1）因为， 

所以函数的定义域为，且，

因为在处取得极值，所以.

解得．

当时，，

当时，；当时，；当时，，

所以是函数的极小值点，故；

（2）因为，所以，

由（1）知，

因为，所以，

当时，；当时，．

所以函数在上单调递增；在上单调递减．

①当时，在上单调递增，

所以．

②当即时，在上单调递增，在上单调递减，

所以；

③当，即时，在上单调递减，

所以．

综上所述：

当时，函数在上的最大值是；

当时，函数在上的最大值是；

当时，函数在上的最大值是．

考点：1.函数的极值与导数；2.函数的最值与导数；3.分类讨论