Question

在如图的几何体中，平面为正方形，平面为等腰梯形，，，，.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）先利用余弦定理以及得到与的等量关系，然后利用勾股定理证明，再结合已知条件并利用直线与平面垂直的判定定理证明平面；证法二是在中利用正弦定理并结合三角函数求出的大小，进而得到，再结合已知条件并利用直线与平面垂直的判定定理证明平面；（2）解法一是将进行平移使得与平面相交，即取的中点，通过证明四边形为平行四边形来达到证明的目的，于是将问题转化为求直线与平面的角的正弦值，取的中点，先证明平面，于是得到直线与平面所成的角为，最后在直角三角形中计算的值；解法二是建立以点为坐标原点，、、所在的直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系，利用空间向量法求直线与平面所成角的正弦值.

试题解析：（1）证明1：因为，，

在中，由余弦定理可得，

以．所以，

因为，，、平面，

所以平面．

证明2：因为，设，则，

在△中，由正弦定理，得.

为，所以．

整理得，所以.所以．

因为，，、平面，

所以平面；

（2）解法1：由（1）知，平面，平面，

所以．

因为平面为正方形，所以．

因为，所以平面，

取的中点，连结，，

因为是等腰梯形，且，，

所以．所以是等边三角形，且，

取的中点，连结、，则．

因为平面，，所以，

因为，所以平面，

所以为直线与平面所成角，

因为平面，所以，

因为，，

在△中，．所以直线与平面所成角的正弦值为；

解法2：由（1）知，平面，平面，

所以．

因为平面为正方形，所以．

因为，所以平面，所以、、两两互相垂直.

建立如图的空间直角坐标系，

因为是等腰梯形，且，

所以．

不妨设，则，，，

，，

所以，，．

设平面的法向量为，则有，即，

取，得是平面的一个法向量，

设直线与平面所成的角为，

则，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

考点：1.余弦定理；2.直线与平面垂直；3正弦定理；4.直线与平面所成的角；5.空间向量法