Question

设函数，.

（1）若曲线与在它们的交点处有相同的切线，求实数、的值；

（2）当时，若函数在区间内恰有两个零点，求实数的取值范围；

（3）当，时，求函数在区间上的最小值.

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）从条件“曲线与在它们的交点处有相同的切线”得到以及，从而列有关、的二元方程组，从而求出与的值；（2）将代入函数的解析式，利用导数分析函数在区间上的单调性，确定函数在区间上是单峰函数后，然后对函数的端点值与峰值进行限制，列不等式组解出的取值范围；（3）将，代入函数的解析式，并求出函数的单调区间，对函数的极值点是否在区间内进行分类讨论，结合函数的单调性确定函数在区间上的最小值.

试题解析：（1）因为，，所以，.

因为曲线与在它们的交点处有相同切线，

所以，且，

即,且，解得，；

（2）当时，，

所以，

令，解得，，

当变化时，、的变化情况如下表：

↗

极大值

↘

极小值

↗

所以函数的单调递增区间为、，单调递减区间为.

故在区间内单调递增，在区间内单调递减.

从而函数在区间内恰有两个零点，当且仅当 ，

即，解得.

所以实数的取值范围是.

（3）当，时，．

所以函数的单调递增区间为、，单调递减区间为．

由于，，所以．

①当，即时， ；

②当时，；

③当时，在区间上单调递增，；

综上可知，函数在区间上的最小值为

.

考点：1.导数的几何意义；2.函数的零点；3.函数的最值；4.分类讨论