Question

如图，已知椭圆的方程为，双曲线的两条渐近线为、.过椭圆的右焦点作直线，使，又与交于点，设与椭圆的两个交点由上至下依次为、.

（1）若与的夹角为，且双曲线的焦距为，求椭圆的方程；

（2）求的最大值.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）先确定双曲线的渐近线方程，根据条件两条渐近线的夹角为，确定与的等量关系，再结合的值，确定与的值，最终确定椭圆的方程；（2）设点的坐标为，并设得到，利用向量的坐标运算得到，，再由点在椭圆上这一条件将点的坐标代入椭圆方程，通过化简得到与离心率之间的关系式，结合基本不等式得到的最大值.

试题解析：（1）因为双曲线方程为，

所以双曲线的渐近线方程为．

因为两渐近线的夹角为且，所以．

所以，所以．

因为，所以，

所以，．

所以椭圆的方程为；

（2）因为，所以直线与的方程为，其中.

因为直线的方程为，

联立直线与的方程解得点.

设，则.

因为点，设点，则有．

解得，.

因为点在椭圆上，

所以．

即．

等式两边同除以得，，

所以，

所以当，即时，取得最大值．

故的最大值为.

考点：1.双曲线的渐近线方程；2.椭圆的方程；3.三点共线的转化