Question

已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值.设.

（1）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；

（2）如何取值时，函数存在零点，并求出零点.

Answer

（1）或；（2）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）先设点的坐标，利用两点间的距离公式将表示为为自变量的函数，利用基本不等式求出相应的最小值，然后列方程求出的值；（2）令，将函数的零点转化为求方程的根，对首项系数的符号进行分类讨论，以及在首项系数不为零时对的符号进行分类讨论，从而确定函数在定义域上是否存在零点，并且在零点存在的前提下利用求根公式求出相应的零点值.

试题解析：（1）依题可设 ()，则；

又的图像与直线平行         

， ，

设，则

当且仅当时，取得最小值，即取得最小值

当时，   解得 

当时，   解得

（2）由()，得  

当时，方程有一解，函数有一零点；

当时，方程有二解，

若，，

函数有两个零点，即；

若，，

函数有两个零点，即；

当时，方程有一解,   ,

函数有一零点

综上，当时, 函数有一零点；

当()，或（）时，

函数有两个零点；

当时，函数有一零点.

考点：1.两点间的距离公式；2.基本不等式；3.分类讨论；4.一元二次方程的求解