Question

已知数列、中，，且当时，，.记的阶乘.

（1）求数列的通项公式；

（2）求证：数列为等差数列；

（3）若，求的前 项和.

Answer

（1）；（2）详见解析；（3）数列的前项和为.

【解析】

试题分析：（1）根据数列的通项公式的结构特点选择迭代法求数列的通项公式；（2）在数列的递推式的两边同时除以得到，于是得到，从而利用定义证明数列为等差数列；（3）在（2）的基础上求出数列的通项公式，并分别求出数列和数列的通项公式，然后根据数列的通项结构选择分组求和法，分别对数列和数列进行求和，利用裂项法对数列进行求和，利用错位相减法对数列进行求和，然后再将两个和相加即可.

试题解析：（1），，，

；

又，所以；

（2）由，两边同时除以得，即，

所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，

，故；

（3）因为，，

记，，

记的前项和为，

则，              ①

     ②

由②①得，，

∴=.

考点：1.迭代法求数列的通项；2.构造法求数列通项；3.分组求和法；4.裂项求和法；5.错位相减法