Question

如图，长方体中，为中点.

（1）求证：；

（2）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由；

（3）若二面角的大小为，求的长.

Answer

（1）详见解析；（2）存在，且；（3）的长为.

【解析】

试题分析：（1）以为原点，、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，并设，利用空间向量法证明，从而达到证明；（2）设点，求出 平面，利用平面转化为，利用向量坐标运算求出知，从而确定点的坐标，最终得到的长；（3）设，利用空间向量法求出二面角的余弦值的表达式，再结合二面角为这一条件求出的值，从而确定的长度.

试题解析：（1）以为原点，、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，

设，则，，，，，

故，，，，

，；

（2）假设在棱上存在一点，使得平面，此时，

有设平面的法向量为，

平面，，，得，

取，得平面的一个法向量为，

要使平面，只要，即有，由此得，解得，即，

又平面，

存在点，满足平面，此时；

（3）连接、，由长方体及，得，

，，

由（1）知，，由，平面，

是平面的一个法向量，此时，

设与所成的角为，得，

二面角的大小为，

，解得，即的长为.

考点：1.直线与直线垂直；2.直线与平面平行的探索；3.利用空间向量法求二面角