Question

设函数.

（1）研究函数的极值点；

（2）当时，若对任意的，恒有，求的取值范围；

（3）证明：.

Answer

（1）详见解析；（2）实数的取值范围是；（3）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）先求出函数的导数，对的符号进行分类讨论，即对函数是否存在极值点进行分类讨论，结合函数的单调性或导数符号确定函数的极大值或极小值；（2）利用（1）中的结论，将问题转化为，结合（1）中的结论列不等式解参数的取值范围；（3）在（2）中，令，得到不等式在上恒成立，然后令得到，两边同除以得到

，结合放缩法得到，最后；利用累加法即可得到所证明的不等式.

试题解析：（1），

当 上无极值点 

当p>0时，令的变化情况如下表：

x

(0，)

+

0

－

↗

极大值

↘

从上表可以看出：当p>0 时，有唯一的极大值点 

（2）当时在处取得极大值，

此极大值也是最大值，要使恒成立，只需，

∴，即p的取值范围为[1，+∞；

（3）令，由（2）知，

∴，∴，

∴ 

,∴结论成立

另【解析】
设函数，则，令，解得，则，

∴==（

考点：1.函数的极值；2.不等式恒成立；3.分类讨论；4.数列不等式的证明；5.放缩法