Question

已知点（，是常数），且动点到轴的距离比到点的距离小.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）（i）已知点，若曲线上存在不同两点、满足，求实数的取值范围；

（ii）当时，抛物线上是否存在异于、的点，使得经过、、三点的圆和抛物线在点处有相同的切线，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.

Answer

（1）动点的轨迹的方程为；（2）（i）实数的取值范围是；

（ii）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）首先由题意得到动点到直线和动点到点的距离相等，从而得到动点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，从而求出轨迹的方程；（2）（i）先由得到点为线段的中点，并设点，从而得到，并设直线的方程为，与抛物线的方程联立，结合与韦达定理在中消去，从而求解参数的取值范围；（ii）先假设点存在，先利用（i）中的条件求出点、两点的坐标，并设点的坐标为，设圆的圆心坐标为，利用、、三点为圆上的点，得到及，利用两点间的距离公式得到方程组，在方程组得到、与的关系式，然后利用导数求出抛物线在点的切线的斜率，利用切线与圆的半径垂直，得到两直线斜率之间的关系，进而求出的值，从而求出点的坐标.

试题解析：（1）；

（2）（i）设，两点的坐标为，且，

∵，可得为的中点，即．

显然直线与轴不垂直，设直线的方程为，即，

将代入中，得．      2分

∴ ∴． 故的取值范围为．

（ii）当时，由（i）求得，的坐标分别为

假设抛物线上存在点（且），使得经过、、三点的圆和抛物线在点处有相同的切线．设圆的圆心坐标为，

∵ ∴

即   解得

∵抛物线在点处切线的斜率为，而，且该切线与垂直，

∴．即．        

将，代入上式，得．

即．∵且，∴．

故满足题设的点存在，其坐标为．

考点：1.抛物线的定义；2.直线与抛物线的位置关系；3.韦达定理；4.直线与圆的位置关系；5.导数的几何意义