Question

已知数列满足：

（1）求的值；

（2）求证：数列是等比数列；

（3）令（），如果对任意，都有，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）是以为首相为公比的等比数列；

（3）

【解析】

试题分析：（1）利用赋值法，令可求；

（2）将等式写到，再将得到的式子与已知等式联立，两式再相减，根据等比数列的定，可证明是以为首相为公比的等比数列；

（3）由（2）可写出，利用数列的单调性当时，，当时，，因此，数列的最大值为，则可解的的范围. 

试题解析：（1） 

（2）由题可知：            ①

        ②

②-①可得   即：，又

∴数列是以为首项，以为公比的等比数列

（3）由（2）可得，   

由可得

由可得,所以

故有最大值 

所以，对任意，有

如果对任意，都有，即成立，

则，故有：，解得或

∴实数的取值范围是

考点：1、赋值法求值；2、等比数列的定义；3、方程思想；4、数列的单调性、最值；5、恒成立问题、不等式.