Question

已知．

（1）当时，求上的值域；

（2）求函数在上的最小值；

（3）证明: 对一切，都有成立

Answer

(1) 值域为；（2）；（3）证明如下.

【解析】

试题分析：（1）对称轴为，开口向上，.

（2），可知在单调递减，在单调递增.因为，故要分三种情况讨论，即① ，t无解；  ② ，即时，；    ③ ，即时，在上单调递增，；

所以.

(3) 设 ，要使在恒成立，即.由（2）可求，再利用导数求.

试题解析：

（1）∵=, x∈[0,3]

当时，；当时，，故值域为

（2），当，，单调递减，

当，，单调递增．

① ，t无解；

② ，即时，；

③ ，即时，在上单调递增，；

所以．

（3） ，所以问题等价于证明，由（2）可知的最小值是，当且仅当时取到；

设，则，易得，当且仅当时取到，从而对一切，都有成立.

考点：1、二次函数求最值；2、利用导数判断单调性，求最值；3、参数讨论思想；4、恒成立问题的转化思想.