Question

已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．

（1）求异面直线与所成角的余弦值；

（2）求二面角的正弦值；

（3）求此几何体的体积的大小

Answer

(1) 异面直线与所成的角的余弦值为．

(2) 二面角的的正弦值为．

(3)几何体的体积为16．

【解析】

试题分析：(1) 先确定几何体中的棱长, ，通过取的中点，连结，

则，∴或其补角即为异面直线与所成的角． 在中即可解得的余弦值.

(2) 因为二面角的棱为，可通过三垂线法找二面角，由已知平面，过作交于，连．可得平面，从而，∴为二面角的平面角．  在中可解得角的正弦值.

（3）该几何体是以为顶点，为高的，为底的四棱锥，所以

此外也可以以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系来解答.

试题解析：（1）取的中点是，连结，

则，∴或其补角即为异面直线与所成的角．

在中，，．∴．

∴异面直线与所成的角的余弦值为．

（2）因为平面，过作交于，连．

可得平面，从而，

∴为二面角的平面角． 

在中，，，，

∴．∴．

∴二面角的的正弦值为．

（3），∴几何体的体积为16．

方法2：（1）以为原点，以CA，CB，CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系．

则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，2），E（0，0，4）

，，∴，

∴异面直线与所成的角的余弦值为．

（2）平面的一个法向量为，设平面ADE的一个法向量为，

所以，，

则， ∴

从而，，

令，则，，

∴二面角的的正弦值为．

（3），∴几何体的体积为16．

考点：1、三视图还原几何体的棱长；2、异面直线所成的角，二面角；3、四棱锥的体积；4、利用向量法解立体几何问题.