Question

已知三点O(0,0)，A(－2,1)，B(2,1)，曲线C上任意一点M(x，y)满足|＋|＝·(＋)＋2.

(1)求曲线C的方程；

(2)点Q(x₀，y₀)(－2<x₀<2)是曲线C上的动点，曲线C在点Q处的切线为，点P的坐标是(0，－1)，与PA，PB分别交于点D，E，求△QAB与△PDE的面积之比．

Answer

（1）曲线C的方程是；（2）△QAB与△PDE的面积之比.

【解析】

试题分析：（1）将向量式化为坐标式，即可得曲线C的方程是.（2）曲线C在Q处的切线的方程是， 且与y轴的交点为，

再联立直线PA，PB与曲线C的方程，得，

利用韦达定理计算，由三角形的面积公式有，因为到的距离为，则.

试题解析：【解析】
(1)由，

得  

由已知得， 化简得曲线C的方程是.

(2)直线PA，PB的方程分别是， 曲线C在Q处的切线l的方程是， 且与y轴的交点为，

分别联立方程，得，

解得D，E的横坐标分别是， 则，

故，

而，则.

即△QAB与△PDE的面积之比为2.

考点：1、向量的坐标式、向量的模、数量积的坐标运算；2、曲线的切线方程；3、韦达定理；4、三角形的面积公式及三角形面积的分割求法.