Question

已知函数．

（1）设（其中是的导函数），求的最大值；

（2）求证: 当时，有；

（3）设,当时,不等式恒成立，求的最大值.

Answer

(1) 取得最大值；（2）；

（3）整数的最大值是.

【解析】

试题分析：（1）先求，根据导数判断函数的单调性，再利用单调性求函数的最大值；

（2）当时，有，再根据（1）中有则，所以；

（3）将不等式先转化为，再利用导数求的最小值，因为，结合（1）中的，则，

所以函数在上单调递增．因为，

所以方程在上存在唯一实根，且满足．

当，即，当，即，

所以函数在上单调递减，在上单调递增．

所以．

所以．故整数的最大值是.  

试题解析： (1）, 

所以 ．

当时，；当时，．

因此，在上单调递增，在上单调递减．

因此，当时，取得最大值；

（2）当时，．由（1）知：当时，，即．

因此，有．

（3）不等式化为 

所以对任意恒成立．令，

则，令，则，

所以函数在上单调递增．因为，

所以方程在上存在唯一实根，且满足．

当，即，当，即，

所以函数在上单调递减，在上单调递增．

所以．

所以．故整数的最大值是.  

考点：1、利用导数判断单调性，再利用单调性求最值；2、构造函数，通过放缩法证明不等式；3、恒成立问题，可转化为成立；4、利用导数求函数零点，解决函数的综合问题，要求学生有较高的逻辑思维能力与数学素养.