Question

如图，已知三棱锥的侧棱、、两两垂直，且，，是的中点.

（1）求点到面的距离；

（2）求二面角的正弦值.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）解法一是利用等体积法求出点到平面的距离，具体做法是：先利用、、两两垂直以及它们的长度计算出三棱锥的体积，然后将此三棱锥转换成以点为顶点，以所在平面为底面的三棱锥通过体积来计算点到平面的距离；解法二是直接利用空间向量法求点到平面的距离；（2）解法一是通过三垂线法求二面角的正弦值，即在平面内作，垂足为点，连接、，证明，，从而得到为二面角的平面角，再选择合适的三角形求出的正弦值；解法二是直接利用空间向量法求二面角的余弦值，进而求出它的正弦值.

试题解析：解法一：（1）如下图所示，取的中点，连接、，

由于，，且，

平面，平面，平面，

平面，，

，为的中点，，

，平面，平面，平面，

平面，，

，且，，

为的中点，，

平面，平面，，，

，

而，，

设点到平面的距离为，由等体积法知，，

即，即，即点到平面的距离为；

（2）如下图所示，过点在平面内作，垂足为点，连接，

，，，

平面，平面，平面，即平面，

平面，，又，，

平面，平面，平面，

平面，，

，，

，，，

同理可知，故二面角的平面角为，

，

在中，，

在中，，，，

由正弦定理得，，

即二面角的正弦值为；

解法二：（空间向量法）由于、、两两垂直，不妨以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

（1）由上图知，，，，，

设平面的一个法向量为，，

，

，

，

令，可得平面的一个法向量为，而，

，，

设点到平面的距离为，则，

即点到平面的距离为；

（2）设平面的一个法向量为，，，

，

，

令，可得平面的一个法向量为，

，，，

设二面角的平面角为，则为锐角，

且，，

即二面角的正弦值为.

考点：1.点到平面的距离；2.二面角；3.空间向量法