Question

在如图的多面体中，平面，，，，，，，是的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：；

（3）求三棱锥的体积.

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）三棱锥的体积为.

【解析】

试题分析：（1）证明四边形为平行四边形，进而得到，再利用直线与平面平行的判定定理得到平面；（2）过点作交于点，连接、、，先证明平面，于是得到平面，从而得到，再证明四边形为菱形，从而得到

，利用直线与平面垂直的判定定理得到平面，从而得到；（3）由平面，由，得到平面，从而将三棱锥的体积的计算变换成以点为顶点，以所在平面为底面的三棱锥来计算体积.

试题解析：（1）∵AD∥EF，EF∥BC，∴AD∥BC．

又∵BC=2AD，G是BC的中点，∴AD//BG，

∴四边形ADGB是平行四边形，∴AB∥DG．   

∵AB⊄平面DEG，DG⊂平面DEG，∴AB∥平面DEG．

（2）证明：∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，∴EF⊥AE，

又AE⊥EB，EB∩EF=E，EB，EF⊂平面BCFE，∴AE⊥平面BCFE．

过D作DH∥AE交EF于H，则DH⊥平面BCFE．

∵EG⊂平面BCFE，∴DH⊥EG．

∵AD∥EF，DH∥AE，∴四边形AEHD平行四边形，∴EH=AD=2，

∴EH=BG=2，又EH∥BG，EH⊥BE，

∴四边形BGHE为正方形，∴BH⊥EG，

又BH∩DH=H，BH⊂平面BHD，DH⊂平面BHD，∴EG⊥平面BHD．

∵BD⊂平面BHD，∴BD⊥EG．（10分）

（3）∵⊥平面,EF//AD,∴AD⊥平面,故三棱锥A-BED的高为AD

∵,∴S△AEB ==

∴= S△AEB=（14分）

考点：1.直线与平面平行；2.异面直线垂直；3.等体积法计算三棱锥的体积