Question

已知点直线，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且.

（1）求动点的轨迹方程；

（2）、是轨迹上异于坐标原点的不同两点，轨迹在点、处的切线分别为、，且，、相交于点，求点的纵坐标.

Answer

（1）动点的轨迹方程为；（2）点的纵坐标为.

【解析】

试题分析：（1）设动点的坐标为，直接利用题中的条件列式并化简，从而求出动点的轨迹方程；（2）先设点，利用导数求出曲线在点和点处的切线方程，并将两切线方程联立，求出交点的坐标，利用两切线垂直得到，从而求出点的纵坐标.

试题解析：（1）设，则，∵，

∴． 即，即，

所以动点的轨迹M的方程．   4分

（2）设点、的坐标分别为、，

∵、分别是抛物线在点、处的切线，

∴直线的斜率，直线的斜率.

∵,

∴,  得.   ①

∵、是抛物线上的点,

∴

∴直线的方程为,直线的方程为.

由  解得

∴点的纵坐标为.

考点：1.动点的轨迹方程；2.利用导数求切线方程；3.两直线的位置关系；4.两直线的交点