Question

已知等差数列{a_n}中，首项a₁＝1，公差d为整数，且满足a₁+3<a₃,a₂+5>a₄，数列{b_n}满足b_n=，其前n项和为S_n．

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)若S₂为S₁，S_m (m∈N^＊)的等比中项,求正整数m的值．

(3)对任意正整数k,将等差数列{a_n}中落入区间(2^k,2^2k)内项的个数记为c_k,求数列{c_n}的前n项和T_n

Answer

（1）=1+(n1)2=2n1；（2）=12；（3）.

【解析】

试题分析：（1）根据题意先确定的值，再根据等差数列的通项公式求解；（2）根据（1）所得的通项公式求出，利用裂项求和法求出其前项和，再根据等比中项的定义列式求解；（3）)对任意正整数k，，则,而，由题意可知 ，利用分组求和法可解答.

试题解析：（1）由题意，得解得< d <．            2分

又d∈Z，∴d=2．

∴=1+(n1)2=2n1．              4分

（2）∵            ..6分

∴       7分

∵，，，为， ()的等比中项，

∴，即，

解得=12．                                                .9分

(3)对任意正整数k，，则,

而，由题意可知   ,                   12分

于是

，

即.                                  14分

考点：等差数列的通项公式、裂项求和法、分组求和、等比数列前项和公式.