Question

如图，某自来水公司要在公路两侧铺设水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线铺设线路l₁，在路南侧沿直线铺设线路l₂，现要在矩形区域ABCD内沿直线将l₁与l₂接通．已知AB = 60m，BC = 80m，公路两侧铺设水管的费用为每米1万元，穿过公路的EF部分铺设水管的费用为每米2万元，设∠EFB= α,矩形区域内的铺设水管的总费用为W．

（1）求W关于α的函数关系式；

（2）求W的最小值及相应的角α．

Answer

（1）=80+ 60tanα;（2）,.

【解析】

试题分析：（1）过E作，垂足为M，由题意得∠MEF=α, 故有，，,化简即可；（2），利用导数求出的最大值和相应的角度即可.

试题解析：（1）如图，过E作，垂足为M，由题意得∠MEF=α，

故有，，，      3分

所以

=80+ 60tanα（其中       8分

（2）W

．

设，

则．         11分

令得，即，得．

列表

+

0

单调递增

极大值

单调递减

所以当时有，此时有．          14分

答：铺设水管的最小费用为万元，相应的角．         16分

考点：函数模型的应用、利用导数求函数极值、三角函数综合.