Question

已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，椭圆C的上、下顶点分别为A₁，A₂，左、右顶点分别为B₁，B₂,左、右焦点分别为F₁，F₂．原点到直线A₂B₂的距离为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过原点且斜率为的直线l，与椭圆交于E，F点，试判断∠EF₂F是锐角、直角还是钝角，并写出理由；

（3）P是椭圆上异于A₁，A₂的任一点,直线PA₁，PA₂，分别交轴于点N，M,若直线OT与过点M，N 的圆G相切，切点为T.证明：线段OT的长为定值,并求出该定值.

Answer

（1）＋y2＝1 ；(2) ∠EF2F是锐角；(3) 线段OT的长度为定值2.

【解析】

试题分析：（1）因为椭圆C的离心率e＝，故设a＝2m，c＝m，则b＝m,直线A2B2方程为 bx ay ab＝0,所以＝，解得m＝1,故椭圆方程为＋y2＝1； (2)联立椭圆和直线方程解出交点坐标E(，)，F( ， ) ，根据向量数量积为正可判断∠EF2F是锐角；(3) 由（1）可知A1(0，1)A2(0，1),设P(x0，y0), 直线PA1：y 1＝x，令y＝0,得xN＝ ，直线PA2：y＋1＝x，令y＝0,得xM＝，接下来有两种方法，解法一，设圆G的圆心为( ( )，h),利用圆的方程和勾股定理求解；解法二，OM·ON＝|( )·|＝，利用切割线定理得求解.

试题解析：（1）因为椭圆C的离心率e＝，

故设a＝2m，c＝m，则b＝m．

直线A2B2方程为 bx ay ab＝0，

即mx 2my 2m2＝0．

所以＝，解得m＝1．

所以 a＝2，b＝1，椭圆方程为＋y2＝1．                         5分

由得E(，)，F( ， )．            .7分

又F2(，0)，所以＝( ，)，＝(  ， )，

所以·＝( )×(  )＋×( )＝＞0．

所以∠EF2F是锐角．                                         10分

（3）由（1）可知A1(0，1) A2(0， 1),设P(x0，y0),

直线PA1：y 1＝x，令y＝0,得xN＝ ；

直线PA2：y＋1＝x，令y＝0,得xM＝；              12分

解法一:设圆G的圆心为( ( )，h),

则r2＝[ ( ) ]2＋h2＝ (＋)2＋h2．

OG2＝ ( )2＋h2．

OT2＝OG2 r2＝ ( )2＋h2  (＋)2 h2＝．    .14分

而＋y02＝1，所以x02＝4(1 y02)，所以OT2＝4，

所以OT＝2,即线段OT的长度为定值2.                              16分

解法二:OM·ON＝|( )·|＝,

而＋y02＝1，所以x02＝4(1 y02)，所以OM·ON＝4．

由切割线定理得OT2＝OM·ON＝4．

所以OT＝2,即线段OT的长度为定值2.                              16分

考点：椭圆直线综合、点到直线距离公式、向量数量积的计算、圆的方程.