Question

已知函数f(x)=a^|x|+ (a>0,a≠1)

（1）若a>1，且关于x的方程f(x)=m有两个不同的正数解，求实数m的取值范围；

（2）设函数g(x)= f( x)，x∈[ 2，+∞），满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与a无关.试求a的取值范围．

Answer

（1）实数的取值范围为区间；（2）实数a的取值范围是.

【解析】

试题分析：（1）令,换元将问题转化为关于的方程有相异的且均大于1的两根，利用二次函数的性质解答即可；（2）算得，分类讨论①当，②当，再分，讨论解答.

试题解析：(1)令，，因为，所以，所以关于的方程有两个不同的正数解等价于关于的方程有相异的且均大于1的两根，即关于的方程有相异的且均大于1的两根，                2分

所以，                         4分

解得，故实数的取值范围为区间.           6分

(2)

①当时，

a)时，，，所以 ，

b)时，，所以   8分

ⅰ)当即时，对，，所以 在上递增，

所以 ，综合a) b)有最小值为与a有关，不符合 10分

ⅱ)当即时，由得，且当时，，当时，，所以 在上递减，在上递增，所以，综合a) b) 有最小值为与a无关，符合要求．   12分

②当时，

a) 时，，，所以

b) 时，，，

所以  ，在上递减，

所以 ，综合a) b) 有最大值为与a有关，不符合  15分

综上所述，实数a的取值范围是．                  16分

考点：二次函数、利用导数求函数单调区间、利用导数求函数最值、分类讨论思想.