Question

如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数的图象，且点M到边OA距离为．

（1）当时，求直路所在的直线方程；

（2）当为何值时，地块OABC在直路不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？

Answer

（1）；（2）时，.

【解析】

试题分析：（1）点M到边OA距离为，则可设，当时，求切线的方程是一个常规问题，切线的斜率是处的导数，易求出直线的点斜式方程；（2）要求不含泳池一侧的面积，就是要把这个面积表示为变量的函数，为此需要确定切线与线段的交点，当然也可能是与线段的交点，这作一个判断或分类讨论，面积函数解决后，用一般求最值的方法，则可解决问题.

试题解析：

（1）对函数求导得，，，又，所以切点，切线的方程为，即；

（2），过切点的切线

即，令得，故切线交于点；

令，得，又在递减，所以

故切线与OC交于点。

地块OABC在切线右上部分区域为直角梯形，

面积，当，。

考点：导数的应用、函数的最值.