Question

已知函数．

（1）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；

（2）若函数在上的最小值为3，求实数的值．

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）这是一个由函数在某区间上是增函数，求参数取值范围的问题，可转化为其导函数在此区间上恒大于或等于0的一个恒成立问题，恒成立问题是我们所熟悉的问题，可分离参数解答，也可由函数本身的性质作出判断；（2）这是一个求含参函数在某区间上的最小值问题，可通过导数的符号去判断函数的单调区间，当然一般会涉及对参数的讨论，之后利用单调性则可求出函数的最小值，再由最小值为3，就可求出参数的值.

试题解析：（1）∵，∴．

∵在上是增函数，

∴≥0在上恒成立，即≤在上恒成立．

令，则≤．

∵在上是增函数，∴．

∴≤1．所以实数的取值范围为．

（2）由（1）得，．

①若，则，即在上恒成立，此时在上是增函数．

所以，解得（舍去）．

②若，令，得．当时，，所以在上是减函数，当时，，所以在上是增函数．

所以，解得（舍去）．

③若，则，即在上恒成立，此时在上是减函数．

所以，所以．

考点：函数与导数、函数的单调性.