Question

已知数列中，前和

（1）求证：数列是等差数列

（2）求数列的通项公式

（3）设数列的前项和为，是否存在实数，使得对一切正整数都成立？若存在，求的最小值，若不存在，试说明理由。

Answer

（1）详见解析；（2）；（3）．

【解析】

试题分析：（1）由可得，两式相减即得关于数列项的递推关系式，从而进行化简进行判断数列为等差数列；（2）由数列的第一项和递推关系式可求出数列的第二项，从而求出数列的公差，进而求出数列的通项公式；（3）这是一个不等式恒成立问题，的最小值就是的最大值（上确界），而求是我们所熟悉的裂项相消法，于是本题不难得到结果.

试题解析：（1）由，知，两式相减得，

，

整理得，所以，

两式再相减整理得，，

∴数列为等差数列。

（2）即公差为2

（3）

要使得对一切正整数恒成立，只要≥，

所以存在实数使得对一切正整数都成立，的最小值为。

考点：等差数列、裂项相消法.