Question

如图所示，已知圆为圆上一动点，点是线段的垂直平分线与直线的交点．

（1）求点的轨迹曲线的方程；

（2）设点是曲线上任意一点，写出曲线在点处的切线的方程；（不要求证明）

（3）直线过切点与直线垂直，点关于直线的对称点为，证明：直线恒过一定点，并求定点的坐标．

Answer

（1）；（2）；（3）证明见解析，定点为．

【解析】

试题分析：（1）本题动点依赖于圆上中，本来这种问题可以用动点转移法求轨迹方程，但本题用动点转移法会很繁，考虑到圆的半径不变，垂直平分线的对称性，我们可以看出

，是定值，而且，因此点轨迹是椭圆，这样我们可以利用椭圆标准方程写出所求轨迹方程；（2）圆锥曲线的过其上点的切线方程，椭圆，切线为，

双曲线，切线为，抛物线，切线为；（3）这题考查同学们的计算能力，现圆锥曲线切线有关的问题，由（2）我们知道切线斜率为，则直线的斜率为，又过点，可以写出直线方程，然后求出点关于直线的对称点的坐标，从而求出直线的方程，接着可从的方程观察出是不是过定点，过哪个定点？这里一定要小心计算．

试题解析：（1）点是线段的垂直平分线,∴ 

∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.

椭圆长轴长为焦距2c=2.  

∴曲线E的方程为    5′

（2）曲线在点处的切线的方程是.   8′

（3）直线的方程为，即 .

设点关于直线的对称点的坐标为,

则，解得

直线PD的斜率为

从而直线PD的方程为：

即, 从而直线PD恒过定点.   16′

考点：（1）椭圆的定义；（2）椭圆的切线方程；（3）垂直，对称，直线过定点问题．