Question

某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为元．假设座位等距离分布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为元．

（Ⅰ）试写出关于的函数关系式，并写出定义域；

（Ⅱ）当米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？

Answer

（Ⅰ）,（Ⅱ）当座位个数为个

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据题意,相邻的两座位之间的弧长为米,则可推出摩天轮的总座位数,摩天轮的造价分成座位与支点相连的钢管的费用和两座位之间的钢管和其中一个座位的费用两部分之和,即:,化简整理得到关于的函数关系式，又由题中所给至少有两个座位可得;（Ⅱ）由米时，可对（Ⅰ）中的函数进一步化简成关于的函数关系式，根据其特点可对函数进行求导,之后令,求得对应的值,从而求出函数最小值.

试题解析：【解析】
（Ⅰ）设摩天轮上总共有个座位，则，即，

，（3分）

定义域；                    （6分）

（Ⅱ）当时，令

，

则，

∴，（11分）

当时，，即在上单调减，

当时，，即在上单调增，

在时取到，此时座位个数为个．  （16分）

考点：1.函数应用题;2.导数求函数的最值