Question

设等比数列的首项为，公比为（为正整数），且满足是与的等差中项；数列满足（）.

（1）求数列的通项公式；

（2）试确定的值，使得数列为等差数列；

（3）当为等差数列时，对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个新数列. 设是数列 的前项和，试求满足的所有正整数.

Answer

（Ⅰ）;（Ⅱ） ;（Ⅲ） 

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由是与的等比中项可得，根据等比数列基本量可得到关于的方程,从而求出，由 得到数列的通项公式; （Ⅱ）由题中所给关于表达式化简得用表示的表达式,即,这样可联想到去求出,利用等差中项可求出的值,并由此求出的表达式,最后根据求的表达式结合等差数列的定义去证明它是一个等差数列; （Ⅲ）由（Ⅰ）知数列的通项公式,由（Ⅱ）知数列的通项公式,结合题中要求分析得:, ,则可得出数列的大体如下:,可见数列的前三项均为，由此可验证的具体情况，可得其中符合题中要求，当时，分析不可能为，因为前面的永大于，那么要存在肯定为,这样就可得到关于一个假设的等式，并可化简得关于的表达式,根据特点可设出对应的函数,最后由导数在函数中的运用去判断出在上函数恒为正．

试题解析：【解析】
（Ⅰ）因为,所以，

解得（舍），则      3分

又，所以           5分

（Ⅱ）由，得，

所以,

则由，得          8分

而当时，，由（常数）知此时数列为等差数列    10分

（Ⅲ）因为，易知不合题意，适合题意    11分

当时，若后添入的数2，则一定不适合题意，从而必是数列中的

某一项，则，

所以，即      13分

记，则，

因为，

所以当时，，又，

从而，故在[3，递增.

则由知=0在[3，无解，

即都不合题意            15分

综上知，满足题意的正整数仅有m=2           16分

考点：1.等比数列的基本量;2.等差数列的定义;3.函数与方程