Question

设函数

(1)若是函数的极值点，和是函数的两个不同零点，且，求；

(2)若对任意，都存在（为自然对数的底数），使得成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）;（2） 

【解析】

试题分析：（1）根据极值的定义,对函数求导，利用导数为求出对应的值为极值点,可得到一个关于的等式，又由函数零点的定义，可得,这样就可解得的值; （2）由题中所给任意，可设出关于的函数，又由得的最大值，根据要求，使得成立，可将问题转化为在上有解，结合函数特点可求导数，由导数与的大小关系，可想到对与的大小关系进行分类讨论，利用函数的最值与的大小关系，从而得到的取值范围．

试题解析：解（1），∵是函数的极值点，∴.∵1是函数的零点，得，

由解得.          4分

∴,，

，所以，故．    8分

（2）令，，则为关于的一次函数且为增函数，根据题意，对任意，都存在，使得成立，则在有解，

令，只需存在使得即可，

由于=，

令，，

∴在(1，e)上单调递增，，            10分

①当，即时，，即，在(1，e)上单调递增，∴，不符合题意.             12分

②当，即时，，

若，则，所以在(1，e)上恒成立，即恒成立，∴在(1，e)上单调递减,

∴存在，使得，符合题意.             14分

若，则，∴在(1，e)上一定存在实数m，使得，∴在(1，m)上恒成立，即恒成立， 在(1，m)上单调递减,∴存在，使得，符合题意.

综上所述，当时，对任意，都存在，使得成立.   16分

考点：1.函数的极值;2.函数的零点;3.函数与方程