Question

如图，两座建筑物的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9和15，从建筑物的顶部看建筑物的视角.

⑴求的长度；

⑵在线段上取一点点与点不重合），从点看这两座建筑物的视角分别为问点在何处时，最小？

Answer

⑴;⑵当为时，取得最小值．

【解析】

试题分析：⑴根据题中图形和条件不难想到作，垂足为，则可题中所有条件集中到两个直角三角形中，由，而在中，再由两角和的正切公式即可求出的值，又，可求出的值; ⑵由题意易得在两直角三角形中，可得，再由两角和的正切公式可求出的表达式，由函数的特征，可通过导数求出函数的单调性和最值，进而求出的最小值，即可确定出的最小值．

试题解析：⑴作，垂足为，则，，设，

则       2分

，化简得，解之得，或（舍）

答：的长度为．                        6分

⑵设，则，

．         8分

设，，令，因为，得，当时，，是减函数；当 时，，是增函数，

所以，当时，取得最小值，即取得最小值，   12分

因为恒成立，所以，所以，，

因为在上是增函数，所以当时，取得最小值．

答：当为时，取得最小值．            14分

考点：1.两角和差的正切公式;2.直角三角形中正切的表示;3.导数在函数中的运用