Question

已知函数，，(其中)，设.

（Ⅰ）当时,试将表示成的函数,并探究函数是否有极值；

（Ⅱ）当时，若存在，使成立，试求的范围.

Answer

（Ⅰ）当时在定义域内有且仅有一个极值，当时在定义域内无极值;

（Ⅱ）或

【解析】

试题分析：（Ⅰ）观察与的特点，可得，，，即可得到函数，观察此函数特征可想到对其求导得，由二次函数的图象不难得出在上有解的条件，进而求出的范围; （Ⅱ）由可得，又由可得，故可令函数的最大值为正，对函数求导令其为0得求出，由与，和与的大小关系对进行分类讨论，并求出各自情况的最大值，由最大值大于零即可求出的范围．

试题解析：（Ⅰ）∵,

,

∴ ∴       (3分)

  设是的两根，则，∴在定义域内至多有一解,

欲使在定义域内有极值，只需在内有解，且的值在根的左右两侧异号，∴得                (6分)

综上：当时在定义域内有且仅有一个极值，当时在定义域内无极值．

（Ⅱ）∵存在，使成立等价于的最大值大于0，

∵，∴,

∴得.

当时，得；

当时，得           (12分)

当时，不成立                (13分)

当时，得；

当时，得；

综上得：或               (16分)

考点：1.代数式的化简;2.函数的极值;3.导数在函数中的运用