Question

设函数（，）。

⑴若，求在上的最大值和最小值；

⑵若对任意，都有，求的取值范围；

⑶若在上的最大值为，求的值。

Answer

（1）最大值为3，最小值为－1；（2）；（3），．

【解析】

试题分析：（1）是三次函数，要求它的最大值和最小值一般利用导数来求，具体的就是令，求出，再讨论相应区间的单调性，就可判断出函数什么时候取最大值，什么时候取最小值；（2）要求的取值范围，题中没有其他的信息，因此我们首先判断出的初始范围，由已知有，得出，而此时在上的单调性不确定，通过讨论单调性，求出在上的最大值和最小值，为什么要求最大值和最小值呢？原因就在于题设条件等价于最大值与最小值的差，这样就有求出的取值范围了；（3）对在上的最大值为的处理方法，同样我们用特殊值法，首先，即，由这两式可得，而特殊值，又能得到，那么只能有，把代入和，就可求出．

试题解析：（1），∴，         2分

∴在内，，在内，，

∴在内，为增函数，在内，为减函数，

∴的最大值为，最小值为，         4分

（2）∵对任意有，∴，

从而有，∴．         6分

又，∴在，内为减函数，在内为增函数，只需，则，

∴的取值范围是          10分[

（3）由知①②，

①加②得又∵∴∴       14分

将代入①②得∴               16分

考点：（1）函数的最值；（2）导数的应用；（3）含绝对值的函数的最大值与不等式的综合知识．