Question

设是各项均为非零实数的数列的前项和，给出如下两个命题上：

命题：是等差数列；命题：等式对任意（）恒成立，其中是常数。

⑴若是的充分条件，求的值；

⑵对于⑴中的与，问是否为的必要条件，请说明理由；

⑶若为真命题，对于给定的正整数（）和正数M，数列满足条件，试求的最大值。

Answer

（1）；（2）是，证明见解析；（3）．

【解析】

试题分析：（1）是等差数列，和可以用裂项相消法求出，等式就变为关于的恒等式，利用恒等式的知识可求出；（2）等式对任意（）恒成立，等式左边是一个和式，相当于一个新数列的前项和，处理方法是把式子中的用代换后，两式相减，本题中得到，这个式子可整理为，这是关于的恒等式，因此

，即， 这就说明为等差数列，得证，解题时还要注意对的初始值是否成立；（3）已知条件为等差数列中，要求的最大值，为了能对数列进行处理，我们利用三角换元法，对已知条件变换，设设，（），这样数列的公差就可求出，从而也就能求出前项和，，再利用三角函数的最大值为，就能求出的最大值．

试题解析：(1)设的公差为，则原等式可化为

，所以，

即对于恒成立，所以．     4分

（2）当时，假设为的必要条件，即“若①对于任意的（）恒成立，则为等差数列”，

当时，显然成立，          6分

当时，②，由①－②得：，

即③，

当时，，即成等差数列，

当时，④，由③④得，所以为等差数列，即是的必要条件．          10分

（3）由，可设，所以．

设数列的公差为，则，所以，

所以，

，

所以的最大值为．          16分

考点：（1）等差数列的性质；（2）等差数列的证明；（3）的最大值问题．