Question

如图长方体中，底面是正方形，是的中点，是棱上任意一点.

⑴求证：；

⑵如果，求的长.

Answer

（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）要证线线垂直，一般可先证线面垂直，这个平面要包含其中一条直线，本题中有许多垂直关系，如，而平面，因此有平面，正好是平面内的直线，问题得证；（2）我们采取空间问题平面化，所有条件都可在矩形内，利用平面几何知识解题，由于，则有，这两个三角形中，有，又，这时可求出，从而求出的长．

试题解析：（1）是正方形，∴，又长方体的侧棱平面，∴,

，故有平面，又，∴．        7分

（2）在长方体中，是矩形，由，得，∴，从而，∴，又底面正方形的边长为2，故，，又，∴，从而．        14分

说明：用空间向量知识求解相应给分．

考点：（1）空间两直线垂直；（2）求线段长．