Question

已知函数，其中是实数，设为该函数的图象上的两点，且.

⑴指出函数的单调区间；

⑵若函数的图象在点处的切线互相垂直，且，求的最小值；

⑶若函数的图象在点处的切线重合，求的取值范围.

Answer

(1)单调减区间为，单调增区间为;（2）1；（3）．

【解析】

试题分析：（1）根据基本初等函数的性质知，分段函数在时是二次函数的一部分，有两个单调区间：增区间，减区间，时是对数函数，只有一个单调增区间；（2）对函数图象来讲，它在某点处的切线斜率等于该函数在此点处的导数，故有，由于，两点在轴的左边，，因此有，显然有，可以表示为关于的函数，从而求出最小值（，应用基本不等式即可得解）也可以直接凑配出基本不等式的形式，＝利用基本不等式）；（3）这里我们首先分析所处范围，结合图象易知不可能在同一单调区间，只能是，那么我们可得出两点处的切线方程分别为，，两条切线相同，则有，于是可把表示为（或者）的函数，把求匠范围转化为求函数的值域．

试题解析：（1）单调减区间为，单调增区间为4分

（2），

当时，因为，所以.8分

∴

当且仅当时等号成立，

∴的最小值为1.10分

（3）当或时，，故

当时，函数的图象在点的切线方程为

即

当时，函数在切线方程为

两切线重合的充要条件是13分

由①及知

由①②得

又，与在都为减函数.

∴16分

考点：（1）单调区间；（2）函数图象的切线及基本不等式；（3）切线与函数的值域．