Question

在直角坐标系中，已知中心在原点，离心率为的椭圆E的一个焦点为圆的圆心.

⑴求椭圆E的方程；

⑵设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为的直线，当直线都与圆相切时，求P点坐标.

Answer

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）圆心坐标是已知的，故椭圆的焦点是已知的，从而半焦距已知了，又有离心率，故半长轴长也能求出，从而求出，而根据题意，椭圆方程是标准方程，可其方程易得；（2）设P点坐标为，再设一条切线的斜率为，则另一条切线的斜率为，三个未知数需要三个方程，点P在椭圆上，一个等式，两条直线都圆的切线，利用圆心到切线的距离等于圆的半径又得到两个等式，三个等量关系，三个未知数理论上可解了，当然具体解题时，可设切线斜率为，则点斜率式写出直线方程，利用圆心到切线距离等于圆半径得出关于的方程，而是这个方程的两解，由韦达定理得，这个结果又是，就列出了关于P点坐标的一个方程，再由P点在椭圆上，可解出P点坐标．

试题解析：（1）圆的标准方程为，圆心为，所以，又，，，而据题意椭圆的方程是标准方程，故其方程为．        4分

（2）设，得

∵，依题意到的距离为

整理得同理

∴是方程的两实根    10分

       12分

∴       14分

     16分

考点：（1）椭圆的标准方程；（2）圆的切线．