Question

已知各项均为正数的数列的前项和为，数列的前项和为，且.

⑴证明：数列是等比数列，并写出通项公式；

⑵若对恒成立，求的最小值；

⑶若成等差数列，求正整数的值.

Answer

（1）证明见解析，；（2）3；（3）

【解析】

试题分析：（1）要证数列是等比数列，可根据题设求出，当然也可再求，虽然得出的成等比数列，但前面有限项成等比不能说明所有项都成等比，必须严格证明．一般方法是把已知式中的用代换得到，两式相减得，这个式子中把用代换又得，两式再相减，正好得出数列的前后项关系的递推关系，正是等比数列的表现．（2）由题间，对不等式用分离参数法得，求的最小值就与求的最大值（也只要能是取值范围）联系起来了．（3）只能由成等差数列列出唯一的等式，这个等式是关于的二元方程，它属于不定方程，有无数解，只是由于都是正整数，利用正整数的性质可得出具体的解．

试题解析：（1）当n=1时，；当n=2时，

当n3时，有 得：

化简得：    3分

又    ∴

∴是1为首项，为公比的等比数列

      6分

（2）

∴    ∴      11分

（3）若三项成等差，则有

，右边为大于2的奇数，左边为偶数或1，不成立

∴      16分

考点：（1）等比数列的通项公式；（2）不等式恒成立与函数的最值；（3）不定方程的正整数解问题．