Question

已知函数.

（Ⅰ）求的单调区间和极值；

（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求的范围.

Answer

（Ⅰ）函数的单调递减区间，递增区间，极小值为，无极大值；（Ⅱ）的范围是．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求的单调区间和极值，研究单调性和极值问题，往往与导数有关，特别是极值，只能利用导数求得，故先对求导，得，令，解得，从而得递增区间，同样方法可得递减区间为，进而得极值；（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求的范围，属于恒成立问题，解这一类题，常常采用含有参数的放到不等式的一边，不含参数（即含）的放到不等式的另一边，转化为函数的最值问题，故原不等式可化为，只需求出在上的最大值即可，因含有，可通过求导来求，令可得，，得，故最大，最大值为，从而得的范围．

试题解析：（Ⅰ）函数的单调递减区间，递增区间.极小值为，无极大值；

（Ⅱ）原不等式可化为：，令可得，令，可得在上恒小于等于零，所以函数g(x)= 在（0，1）上递增，在（1，+）递减，所以函数g(x)在上有最大值g(1)=2-e，所求的范围是

考点：函数与导数，函数极值，单调区间，导数与不等式．