Question

已知椭圆经过点，离心率为，过点的直线与椭圆交于不同的两点．

（1）求椭圆的方程；

（2）求的取值范围.

Answer

（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）由离心率为，得，再根据椭圆C过点，代入得，联立之可求得的值，进而写出椭圆方程；（2）考察直线和椭圆的位置关系，一般要将直线方程和椭圆方程联立，得关于某一变量的一元二次方程，设交点，然后利用韦达定理达到设而不求的目的，同时要注意的隐含条件，该题设直线方程为，代入椭圆方程得，则>0,得的范围，设交点，，将表示为，然后利用韦达定理将其表示为的式子，进而可以看成是自变量为的函数，求其值域即可.

试题解析：（1）由题意得 解得，．椭圆的方程为．

（2）由题意显然直线的斜率存在，设直线的方程为，

由得.  直线与椭圆交于不同的两点，，

，解得.设，的坐标分别为，，则，，，．

．

，．的取值范围为．

考点：1、椭圆的方程及简单几何性质；2、向量的数量积运算；3、韦达定理.