Question

已知

（1）求函数在上的最小值；

（2）对一切恒成立，求实数的取值范围；

（3）证明：对一切，都有成立.

Answer

(1) ;（2）；（3）详见解析

【解析】

试题分析：（1）先求的根得，然后讨论与定义域的位置，分别考虑其单调性，因为，故只有两种情况①，此时0，最小值为；②，此时递减，递增，故最小值为；（2）将不等式参变分离得，，记函数，只需求此函数的最小值即可；（3）证明，一般可构造差函数或商函数，即，或（需考虑的符号），然后只需考虑函数的最值，如果上述方法不易处理，也可说明，虽然这个条件不是的等价条件，但是有此条件能充分说明成立，该题可以先求先将不等式恒等变形为，然后分别求的最小值和函数

的最大值即可.

试题解析：（1）由已知知函数的定义域为，，

当单调递减，当单调递增.

①当时，没有最小值；

②当，即时，；

③当即时，在上单调递增，；

（2），则，

设，则，

①单调递减，②单调递增，

，对一切恒成立，.

（3）原不等式等价于，

由（1）可知的最小值是，当且仅当时取到，

设，则，

易知，当且仅当时取到，

    从而对一切，都有成立.

考点：1、导数在单调性方面的应用；2、利用导数求函数的最值.