Question

在周长为定值的DDEC中,已知,动点C的运动轨迹为曲线G,且当动点C运动时,有最小值．

（1）以DE所在直线为x轴,线段DE的中垂线为y轴建立直角坐标系,求曲线G的方程;

（2）直线l分别切椭圆G与圆(其中)于A、B两点,求|AB|的取值范围．

Answer

（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）由已知得是常数，设，可以判断动点的轨迹是椭圆，且，在中，利用余弦定理结合椭圆定义列方程得，利用基本不等式求的最大值，从而得的最小值，列方程求，从而椭圆方程可求；（2）因为直线和圆、椭圆相切，故设直线方程，分别与椭圆、圆的方程联立，利用，得的等式，并利用韦达定理的关系式和，分别求出切点的横坐标，利用两点弦长公式

，并结合的等式，得关于自变量的函数，再求其值域得的范围.

试题解析：(1)设 |CD|+|CE|=2a  (a>4)为定值,所以C点的轨迹是以D、E为焦点的椭圆,所以焦距2c=|DE|=8.，

因为，又因为

，所以,由题意得 . 所以C点轨迹G 的方程为  ；

(2)设分别为直线与椭圆和圆的切点, 直线AB的方程为: ，因为A既在椭圆上,又在直线AB上,从而有, 消去得:，由于直线与椭圆相切,故 ,从而可得: ①             ②， 由消去得:，由于直线与圆相切,得:③，     ④ ，由②④得:   ;，①③得:  

,;,从而.

考点：1、椭圆的定义及其标准方程；2、基本不等式；3、两点之间的距离公式.