Question

已知函数，其中为常数．

（1）当时，求函数的单调递增区间；

（2）若任取，求函数在上是增函数的概率．

Answer

（Ⅰ）函数的单调递增区间分别为和；（Ⅱ）函数在上是增函数的概率为．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求函数的单调递增区间，首先将代入，我们易求出函数的解析式，从而求出函数的导函数后，令导函数的函数值大于等于0，由此构造关于的不等式，解不等式即可得到函数的单调递增区间；（Ⅱ）求函数在上是增函数的概率，这是一个几何概型问题，我们可以先画出，对应的平面区域的面积，然后再求出满足条件函数在上是增函数时对应的平面区域的面积，计算出对应的面积后，代入几何概型公式即可得到答案．

试题解析：（1）当时，， 

令，,解得或，

故函数的单调递增区间分别为和 

（2）

若函数在上是增函数，则对于任意，恒成立．

所以，，即           8分

设“在上是增函数”为事件，则事件对应的区域为

全部试验结果构成的区域，

所以，

故函数在上是增函数的概率为 

考点：利用导数研究函数的单调性；几何概型；概率的应用．