Question

设函数。

（Ⅰ）若时，函数取得极值，求函数的图像在处的切线方程；

（Ⅱ）若函数在区间内不单调，求实数的取值范围。

Answer

（Ⅰ）切线方程为；（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求函数的图像在处的切线方程，首先求出函数的解析式，而已知若时，函数取得极值，因此先求出数的导函数，令导函数在处的值为，求出的解析式，将代入求出切点坐标，将代入导函数求出切线的斜率，利用点斜式求出切线的方程．（Ⅱ）若函数在区间内不单调，即函数在区间有极值，即导函数在区间上有解，令导函数为，分离出得，求出在上的范围，从而得实数的取值范围．

试题解析：（Ⅰ）  由得

∴   当时，  即切点

令得∴切线方程为；

（Ⅱ）在区间内不单调，即在有解，所以，，由，，令，，知在单调递减，在，所以，即，，即，而当时，∴舍去   综上

考点：函数在某点取得极值的条件；函数的单调性与导数的关系；利用导数研究曲线上某点切线方程．