Question

函数.

（Ⅰ）求函数的单调递减区间；

（Ⅱ）将的图像向左平移个单位，再将得到的图像横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）后得到的图像，若的图像与直线交点的横坐标由小到大依次是求数列的前2n项的和。

Answer

（Ⅰ）的单调递减区间为；（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求函数的单调递减区间，首先对进行恒等变化，将它变为一个角的一个三角函数，然后利用三角函数的单调性，来求函数的单调递减区间，本题首先通过降幂公式降幂，及倍角公式，得到与的关系式，再利用两角和的三角函数公式，得到，从而得到单调递减区间；（Ⅱ）本题由的图像，根据图象的变化规律得到函数的图象；从而求出的解析式，再结合正弦曲线的对称性，周期性求出相邻两项的和及其规律，最后结合等差数列的求和公式即可得到结论．

试题解析：（Ⅰ）

．         4分

令，所以

所以的单调递减区间为．       6分

（Ⅱ）将的图象向左平移个单位后，

得到．       7分

再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）后得到， 8分解法一：若函数的图象与直线交点的横坐标由小到大依次是

、、、、，则由余弦曲线的对称性，周期性可知，

    9分

所以

．                  12分

解法二：若函数的图象与直线交点的横坐标由小到大依次是、、、、，则．     9分

由余弦曲线的周期性可知，

；

所以

．         12分

考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；函数的图象变换．