Question

已知函数.

（Ⅰ）当a=3时，求函数在上的最大值和最小值；

（Ⅱ）求函数的定义域，并求函数的值域。（用a表示）

Answer

（Ⅰ），；（Ⅱ）的定义域为，的值域为．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）当时，求函数在上的最大值和最小值，令，变形得到该函数的单调性，求出其值域，再由为增函数，从而求得函数在上的最大值和最小值；（Ⅱ）求函数的定义域，由对数函数的真数大于0求出函数的定义域，求函数的值域，函数的定义域，即的定义域，把的解析式代入后整理，化为关于的二次函数，对分类讨论，由二次函数的单调性求最值，从而得函数的值域．

试题解析：（Ⅰ）令，显然在上单调递减，故，

故，即当时，，（在即时取得）

，（在即时取得）

(II)由的定义域为，由题易得：，

因为，故的开口向下，且对称轴，于是：

当即时，的值域为（；

当即时，的值域为（

考点：复合函数的单调性；函数的值域．