Question

如图，在四棱锥P—ABCD中，ABCD为平行四边形，且BC⊥平面PAB，PA⊥AB，M为PB的中点，PA=AD=2.

（Ⅰ）求证：PD//平面AMC；

（Ⅱ）若AB=1，求二面角B—AC—M的余弦值。

Answer

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）二面角的余弦值为．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）要证//平面，只需在平面找一条直线与平行即可，证明线线平行，可利用三角形的中位线平行，也可利用平行四边形的对边平行，本题为的中点，可考虑利用三角形的中位线平行，连接，设与相交于点，连接，利用三角形中位线性质，证得//，从而证明//平面；（Ⅱ）求二面角B—AC—M的余弦值，可找二面角的平面角，取的中点，连接，作，垂足为，连接，证明为二面角的平面角，即可求得二面角的余弦值；也可利用空间坐标来求，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，由于平面，故平面的一个法向量为，设出平面的法向量，通过，，求出平面的法向量，从而得二面角B—AC—M的余弦值．

试题解析：（Ⅰ）证明：连接，设与相交于点，连接，

∵四边形是平行四边形，∴点为的中点．

∵为的中点，∴为的中位线，

∴//，     3分

∵，

∴//．  6分

(Ⅱ)解法一：∵平面，//，则平面，故，

又且，

∴平面，取的中点，连接，则//，且．∴．

作，垂足为，连接，由于，且，

∴，∴．

∴为二面角的平面角．   9分

由∽，得，得，

在中，．

∴二面角的余弦值为．   12分

(Ⅱ)解法二：∵平面，，则平面，故，

又且，∴．  9分

以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系．



则，，，，，∴，，求得平面的法向量为，又平面的一个法向量为，

∴.

∴二面角B—AC—M的余弦值为.   12分

考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．