Question

已知各项均为正数的数列满足，且，其中.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设数列满足是否存在正整数m、n（1<m<n），使得成等比数列？若存在，求出所有的m、n的值，若不存在，请说明理由。

Answer

（Ⅰ）数列的通项公式为；（Ⅱ）存在，，．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求数列的通项公式，首先须知道数列的特征，由题意可得，，由于各项均为正数，故有即，这样得到数列是公比为的等比数列，由可求出，从而可得数列的通项公式；（Ⅱ）设数列满足是否存在正整数，使得成等比数列，首先求出数列的通项公式，，然后假设存在正整数，使得成等比数列，则，整理可得，只要即可，解不等式求出的范围，看是否有正整数，从而的结论．

试题解析：（Ⅰ）因为即

又所以有即

所以数列是公比为的等比数列

由得解得。

从而，数列的通项公式为。        6分

（II）=，若成等比数列，则，

即．

由，可得，

所以，解得：。

又，且，所以，此时．

故当且仅当，使得成等比数列。        13分

考点：等比数列的定义，及通项公式，探索性命题．